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68 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

Diﬀusions–Reaktionsgleichung der Form

∂c

∂t

− ε∆c + u · ∇c + rc = f in (0, T ] × Ω,

c = c

in [0, T ] × ∂Ω

ε∇c · n = 0 in [0, T ] × ∂Ω

c(0, ·) = c

in Ω,

(III.10)

erl

autert. Die Gr

oße c entspricht hier der Konzentration eines Kontaminants, welches

durch das Konvektionsfeld mit der Str

omungsgeschwindigkeit u transportiert wird. Da-

bei betrachtet man das Konvektionsfeld, ebenso wie den Reaktionskoeﬃzienten, der

im Quellterm rc den Reaktionsanteil modelliert, als zeitabh

angige Gr

oße. Zudem ent-

spricht ε > 0 einem Diﬀusionskoeﬃzienten, der hier auch als ein Viskosit

atsparameter

interpretiert werden kann. F

ur die Randbedingung gilt, dass ∂Ω = ∂Ω

∪ ∂Ω

ist, wo-

bei ∂Ω

dem Rand mit Neumann–Randbedingungen entspricht und ∂Ω

dem Rand

mit Dirichlet–Randbedingungen. Des Weiteren ist c

die Anfangskonzentration in Ω

und c

die vorgeschriebene Konzentration auf dem Rand ∂Ω

Analog zu den Navier–Stokes–Gleichungen im vorhergehenden Kapitel wird auch die

Zeitdiskretisierung der skalaren Konvektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichungen mit dem

Zwischenschritt–θ–Verfahren realisiert,

+ θ

∆t

(−ε∆c

+ u

· ∇c

+ r

)

= c

k−1

− θ

∆t

(−ε∆c

k−1

+ u

k−1

· ∇c

k−1

+ r

k−1

) (III.11)

+θ

∆t

k−1

+ θ

∆t

mit dem konstanten Zeitschritt ∆t

= t

− t

k−1

und den Parametern θ

,. . .,θ

. Dabei

erh

alt man f

ur die Wahl θ

= θ

= 1, θ

= θ

= 0 das R

uckw

arts–Euler–Verfahren und

ur θ

= θ

= 0.5 das Crank–Nicolson–Verfahren. Die Gleichung (III.11)

kann hier als station

are Konvektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichung zum Zeitpunkt t

verstanden werden und enth

alt jeweils einen Term f

ur die Konvektion, die Diﬀusion

und die Reaktion,

D = θ

∆t

ε,

C = θ

∆t

R = 1 + θ

∆t

Im n

achsten Schritt wird (III.11) mit der Finite–Element–Methode diskretisiert. Dazu

wird die Gleichung mit geeigneten Testfunktionen multipliziert und in ihre variationelle

Formulierung transformiert. Um eine einfache und gut lesbare Darstellung der Methode

ur die Modellgleichung zu erhalten, werden konforme Finite–Elemente und Dirichlet–

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