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§2 Turbulente Str

omungen und Schwierigkeiten ihrer Simulation 17

beobachtbaren r

aumlichen und zeitlichen Skalen und zeichnen sich durch einen hohen

Einﬂuss der nichtlinearen Eﬀekte aus. Zus

atzlich besteht eine große Abh

angigkeit von

den gegebenen Anfangs- und Randbedingungen. Dies f

uhrt zu einer ungeordneten und

schwer oder nicht vorhersagbaren Struktur, die nur statistische Aussagen erlaubt. Daher

spricht man in diesem Zusammenhang oft von einem deterministischen Chaos [Fri95].

Dies spiegelt sich auch im Unterschied zwischen den rein deterministischen Navier–

Stokes–Gleichungen und der stochastischen Natur der Turbulenz wieder. Die Frage,

warum die L

osungen eines Gleichungssystems, basierend auf der Newtonschen Mecha-

nik, Zufallsgr

oßen sind, kann durch die extrem hohe Sensitivit

at turbulenter Str

omun-

gen gegen

uber allen St

orungen beantwortet werden [Pop00]. Diese unvermeidbaren

orungen, wie Materialeigenschaften, Verunreinigungen oder Inhomogenit

aten, kom-

men also noch zu der bereits erw

ahnten großen Abh

angigkeit von den Anfangsbedin-

gungen hinzu.

Von der Analyse laminarer Str

omungen weiß man, dass experimentelle und ma-

thematische Ergebnisse eine hohe

Ubereinstimmung besitzen. Turbulente Str

omungen

ben

otigen hier eine andere Herangehensweise, da eine Theorie, die ein bestimmtes

Geschwindigkeitsfeld berechnen will, bei auftretenden Zufallsgr

oßen falsch sein muss.

Die daher notwendige statistische Betrachtung turbulenter Str

omungen geht auf Os-

borne Reynolds zur

uck. Dieser f

uhrte 1894 erstmals die nach ihm benannte Reynolds–

Zerlegung der Geschwindigkeit ein

u = hui + u

. (II.12)

Das Geschwindigkeitsfeld u wird hierbei aufgespaltet in eine Summe aus Mittelwert hui

und zugeh

origer Fluktuation u

, wobei der Mittelwert h · i = hh · i

zuerst

uber den

Raum und danach

uber die Zeit gebildet wird [Pop00]. Basierend auf der Reynolds–

Zerlegung werden noch die folgenden statistischen Deﬁnitionen bei der Auswertung

numerischer Simulationen benutzt:

Die Varianz oder mittlere quadratische Abweichung

var (u) =

)

die Standardabweichung oder turbulente Intensit

var (u) =

)

und die Kovarianzmatrix oder Reynolds–Spannungen

R =

)

, R





Um die zugrunde liegenden physikalischen Mechanismen der Turbulenz n

aher zu

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