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§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 67

werden noch die folgenden Konstanten eingef

uhrt:

chem

= k

∞

C,∞

∞

, Λ

nuc

= C

nuc

p,0

nuc

∞

C,∞

∞

p,0

= d

p,∞

p,min

Mit ihnen erh

alt man f

ur die Konvektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichung des gel

osten

Reaktionsproduktes c

dessen entdimensionierte Darstellung,

∂c

∂t

−

∞

∆c

+ u · ∇c

− Λ

chem

+ Λ

nuc

max



0, (c

− 1)





−

sat

C,∞



p,min

f d(d

) = 0 in (0, T ] × Ω. (III.8)

Hier sei noch erw

ahnt, dass bei einer anderen Wahl der Konstanten f

∞

ein zus

atzlicher

Faktor auf der linken Seite der Gleichung (III.8) auftreten w

urde.

Die Herleitung der dimensionslosen Populationsbilanz erfolgt analog zu der obigen

Vorgehensweise. Ausgehend von Gleichung (III.3) erh

alt man so

∂f

∂t

+ u · ∇f + G(c

)

∞

p,min

∂f

∂d

= 0 in (0, T ] × Ω × (d

p,min

, 1), (III.9)

mit der dimensionslosen Wachstumsrate,

G(c

) =

C,∞

∞



−

sat

C,∞



§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems

§3.1 Finite–Element–Methode f

ur die Reaktionsgleichungen

Da die Reaktionsgleichungen f

ur die Konzentrationen c

und c

der beiden Aus-

gangsstoﬀe durch den gleichen Typ einer skalaren Konvektions–Diﬀusions–Reak-

tionsgleichung beschrieben werden und zudem miteinander gekoppelt sind, wird f

sie auch eine gemeinsame Strategie zur Diskretisierung verwendet.

Der Einfachheit halber wird diese zun

achst am Beispiel einer linearen Konvektions–

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