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72 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

Zusammenfassend kann man sagen, dass die ausf

uhrlichen Untersuchungen in

[JS08, JS09] zu dem Schluss kommen, dass die FEM–FCT–Verfahren erheblich bessere

Ergebnisse liefern als alle anderen Verfahren. Im Besonderen ist das lineare FEM–FCT–

Schema aus [Kuz09] zu nennen, da dort ein sehr gutes Verh

altnis von Genauigkeit und

Eﬃzienz erreicht wird. Daher wird dieses auch in den numerischen Studien zur F

al-

lungsreaktion einen Schwerpunkt bilden und im Folgenden kurz eingef

uhrt und erl

autert

werden.

Die FEM–FCT–Verfahren wurden urspr

unglich f

ur Transportgleichungen, d.h. Glei-

chung der Gestalt (III.10) mit ε = r = f = 0, entwickelt. Ihre Anf

ange gehen auf [BB73]

zur

uck und ihre grundlegende Methodik ist nicht die Editierung der Bilinearform der

Finite–Element–Diskretisierung, wie dies andere Stabilisierungsans

atze, z.B. die SUPG–

Verfahren, machen, sondern eine Modiﬁkation auf der algebraischen Ebene. Um die

Vorgehensweise zu pr

azisieren, wird f

ur das Modellproblem (III.10) mit dem Crank–

Nicolson–Verfahren und der Galerkin–Finite–Element–Methode eine Matrix/Vektor–

Darstellung gew

ahlt:

+ 0.5∆t

A) u

= (M

+ 0.5∆t

A) u

k−1

+ 0.5∆t

k−1

+ 0.5∆t

.(III.17)

entspricht hier der konsistenten Massenmatrix und die Matrix A symbolisiert die

Summe aus Diﬀusion, Konvektion und Reaktion. Die Notationen u

, f

, etc. sollen

jeweils einen Vektor mit den unbekannten Koeﬃzienten der Finite–Element–Methode

repr

asentieren.

Eines der grundlegenden Prinzipien der FEM–FCT–Verfahren beruht auf der physi-

kalischen Notwendigkeit, nur solche L

osungen von (III.10) als sinnvoll zu erachten, die

positivit

atserhaltend sind; das heißt L

osungen, f

ur die gilt:

(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω und c ≥ 0 auf ∂Ω

=⇒ c (t, x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω, ∀t > 0.

Mit anderen Worten, es sollten nur Konzentrationsfelder auftreten, die keine negati-

ven Werte annehmen, da diese Unterschw

unge nicht den physikalischen und chemi-

schen Gesetzm

aßigkeiten entsprechen w

urden. Allerdings geht diese Eigenschaft der

Nichtnegativit

at der Konzentrationsfelder im Allgemeinen bei einer Finite–Element–

Diskretisierung der kontinuierlichen Gleichungen verloren [Kuz09]. Um diese denoch zu

erhalten, benutzt man unter anderem das Konzept der sogenannten M–Matrizen, das

im Folgenden kurz vorgestellt wird.

Eine regul

are Matrix A heißt invers–monoton, wenn ihre Inverse A

−1

existiert und

die Ungleichung A

−1

≥ 0 komponentenweise erf

ullt. Diese Eigenschaft erlaubt die

Deﬁnition eines diskreten Vergleichsprinzips, welches besagt, dass f

ur invers–monotone

Matrizen A,

Av ≤ Aw =⇒ v ≤ w,

gilt. In diesem Zusammenhang bilden die sogenannten M–Matrizen die wichtigste Klas-

1 2 ... 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 ... 194 195

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