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20 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str

omungen

Die f

ur hinreichend große Reynolds–Zahlen getroﬀenen Aussagen von Kolmogorov

sind:

• Hypothese der lokalen Isotropie:

Die kleinskaligen turbulenten Bewegungen sind statistisch isotrop.

• 1.

Ahnlichkeitshypothese:

Die Statistik der kleinskaligen turbulenten Bewegungen wird eindeutig durch die

oßen ν und ε beschrieben.

• 2.

Ahnlichkeitshypothese:

Die Statistik eines Turbulenzelements mit Skalierung l, l

∞

 l  λ, wird

eindeutig durch ε beschrieben und ist unabh

angig von ν.

Ausgehend von diesen Hypothesen, konnte Kolmogorov die nach ihm benannten

Skalen einf

uhren und die kleinsten auftretenden Skalen der Energiekaskade bestimmen.

Die Kolmogorov–Skalen f

ur gegebene Dissipationsrate ε und kinematische Viskosit

ν lauten,

λ =





[m], u

= (ε ν)

[m/s], t





[s]. (II.14)

Die Reynolds–Zahl dieser kleinsten Skalen ist

Re (λ) =

= 1.

Zus

atzlich kann die Dissipationsrate auch ausgedr

uckt werden durch

ε = ν

= ν

woraus die Beziehung

folgt. Dies kann als eine Approximation der r

aumlichen Ableitung von u

angesehen

werden, die f

ur kleine λ die Ver

anderungen des Geschwindigkeitsgradienten beschreibt.

Dar

uber hinaus zeigt die Beziehung, dass f

ur die Kolmogorov–Skalen der Gradient der

Geschwindigkeit im Bezug auf die Reynolds–Zahl gleichm

aßig beschr

ankt ist [Sag02].

Mit den Beziehungen (II.13) und (II.14) ist es nun m

oglich, eine Absch

atzung der

Kolmogorov–Skalen bez

uglich der gr

oßten Wirbel anzugeben:

∞

∼



∞



= (Re (l

∞

))

−

= Re

−

⇐⇒ λ ∼ Re

−

. (II.15)

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