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66 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

mensionslosen Kennzahlen, die eine Entdimensionierung der Gleichungen erm

oglichen:

u = u

∞

u, ep = p

∞

t = t

∞

t, ex

= l

∞

, p

∞

= ρu

∞

, t

∞

Die entdimensionierten Navier–Stokes–Gleichungen ergeben sich f

ur die Simulation

der Modelle der chemischen Reaktion und der sich daraus entwickelnden Partikelpopu-

lation entsprechend (II.10) zu

∂u

∂t

− Re

−1

∆u + (u · ∇) u + ∇p = 0 in (0, T ] × Ω,

∇ · u = 0 in (0, T ] × Ω.

(III.6)

Des Weiteren m

ussen hier noch die dimensionslosen, charakteristischen Konzentra-

tionen sowohl f

ur die Reaktanten als auch f

ur das gel

oste Produkt eingef

uhrt werden,

indem die dimensionsgebundenen Variablen in ein Produkt einer Referenzgr

oße und

einer dimensionslosen Variablen separiert werden,

= c

∞

, i ∈ {A, B} , ec

= c

C,∞

Durch Substitution der Variablen und Umstellen der Gleichungen k

onnen die Kon-

vektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichungen f

ur die Konzentrationsfelder von ec

und ec

in eine von allen physikalischen Einheiten bereinigte Form

uberf

uhrt werden:

∂c

∂t

−

∞

∆c

+ u · ∇c

+ k

∞

= 0 in (0, T ] × Ω.

(III.7)

Zur Entdimensionierung der Gleichung f

ur die Konzentration des Reaktionsproduk-

tes ec

und der Populationsbilanz werden hier noch zus

atzliche charakteristische Gr

oßen

ur die Partikelgr

oßenverteilung

f und den

Aquivalentdurchmesser der Partikel als di-

mensionslose Variablen eingef

uhrt,

f = f

∞

= d

p,∞

, d

p,∞

p,max

Dar

uber hinaus deﬁniert man noch die charakteristischen Maßzahlen

C,∞

= c

sat

C,∞

exp

p,0

, und f

∞

p,∞

∞

Zur Entdimensionierung von Gleichung (III.5) wird diese mit dem Term l

∞

−1

C,∞

−1

∞

multipliziert und das Integral mit t = d

−1

p,∞

substituiert. Um eine bessere Lesbar-

keit und eine verk

urzte Darstellung der entdimensionierten Gleichung zu erm

oglichen,

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