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§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 11

Diese Darstellung ist unabh

angig vom betrachteten Kontrollvolumen und liefert die

Impulserhaltung oder die Impulsbilanz–Gleichung:

∂

(e%

u) + (

u · ∇) (e%

u) + (e%

u) (∇ ·

u) − e%

g − ∇ · S = 0. (II.6)

Die Modellierung des Cauchy–Spannungstensors ist hier von grundlegender Bedeu-

tung. Unter der Annahme eines nicht–viskosen oder idealen Fluids, d.h. alle inneren

Reibungskr

afte k

onnen vernachl

assigt werden, ist es oﬀensichtlich, dass der Spannungs-

tensor nur vom Druck abh

angt

S = −ep I.

Aus dieser Betrachtung folgt, dass die Diagonaleintr

age σ

, σ

und σ

, des 3 × 3

Tensors zweiter Stufe,

S =













die Normal- oder Zugspannungen repr

asentieren. Die Scher- und Schubspannungskom-

ponenten k

onnen in diesem Fall vernachl

assigt werden und (II.6) vereinfacht sich zu

∂

(e%

u) + (

u · ∇) (e%

u) + (e%

u) (∇ ·

u) − e%

g + ∇ep = 0. (II.7)

Hier ist zu beachten, dass die Divergenz eines Tensors berechnet werden soll und der

Operator dann zeilenweise angewandt wird. Daher gilt in diesem Fall ∇ · S = ∇ep.

Bei der Betrachtung viskoser Fluide m

ussen auch die inneren Reibungskr

afte

S =













ber

ucksichtigt werden.

Im Folgenden werden nur Newtonsche Fluide betrachtet, also Fluide deren Scher-

spannungen τ proportional zum Schergef

alle, d.h Geschwindigkeitsgradient senkrecht

zu den Molek

ulschichten,

˙γ =

∂eu

∂ey

sind.

Die Proportionalit

atskonstante, η = τ/ ˙γ, wird als dynamische Viskosit

at bezeichnet

und hat die SI-Einheit [Ns/m

] = [Pa · s]. Die Viskosit

at ist ein Maß f

ur den inneren

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