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18 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str

omungen

betrachten, muss zuerst der Begriﬀ Wirbel erl

autert werden. Dieser entzieht sich aller-

dings, wie schon zuvor der Begriﬀ Turbulenz, einer genauen mathematischen Deﬁnition.

Nach [Pop00] versteht man unter einem Wirbel eine turbulente Bewegung, die, loka-

lisiert in einem Gebiet, in diesem als koh

arent angesehen werden kann. Dieses Gebiet

kann zus

atzlich auch noch kleinere Wirbel enthalten.

In diesem Zusammenhang versteht man unter der charakteristischen L

ange l

∞

ein

Maß f

ur die gr

oßten Wirbel, welches mit der L

ange vergleichbar ist, auf der sich die

Geschwindigkeit der mittleren Str

omung merklich

andert.

Die Energiekaskade von Richardson

Wie fast alle ph

anomenologischen Ans

atze zur Theorie der Turbulenz beginnt auch

dieser Abschnitt mit einer Betrachtung der Energiekaskade von Richardson [Ric22].

Deren Ausgangspunkt ist die grundlegende Annahme, dass eine turbulente Str

omung

eine

Uberlagerung von Turbulenzelementen oder Wirbeln verschiedenster Gr

oße ist. Da

die Navier–Stokes–Gleichungen ein physikalisch dissipatives System beschreiben, wird

eine st

andige Energiezufuhr ben

otigt, um dieses System in einem station

aren Zustand

zu halten [Fri95]. Dabei entstehen die gr

oßten Wirbel direkt aus der Instabilit

at der

mittleren Geschwindigkeit der Str

omung, erzeugt durch die Energiezufuhr. Sie selbst

sind instabil und zerfallen ihrerseits in kleinere Wirbel, die durch ihre eigene Instabilit

weiter zerfallen. In diesem Prozess wenden die Wirbel ihre ganze kinetische Energie, die

sie von Wirbeln gr

oßerer Ordnung empfangen haben, zur Bildung von Wirbeln kleinerer

Ordnung auf [OJ58]. Da sich dieser Prozess st

andig wiederholt, spricht man von einer

Energiekaskade.

Die Reynolds–Zahl der gr

oßten Wirbel, Re = Re(l

∞

) = (u

∞

)/ν, im Bereich

der Energiezufuhr ist groß gegen

uber der Reynolds–Zahl der Wirbel im Inertial- und

Zerstreuungsbereich und daher sind die direkten Eﬀekte der Viskosit

at in dieser Skalen-

oße vernachl

assigbar. W

ahrend der Kaskade werden die zerfallenden Wirbel allerdings

immer kleiner und mit abnehmender Reynolds–Zahl bzgl. der Wirbelgr

oße nimmt der

Einﬂuss der Viskosit

at solange zu, bis eine kleinste Wirbelgr

oße λ erreicht ist. Die Be-

wegung dieser kleinsten Wirbel kann als stabil und damit laminar angesehen werden,

da hier der Einﬂuss der molekularen Viskosit

at so stark ist, dass er die Wirbelbewegung

dominiert. Die gesamte kinetische Energie, die sich w

ahrend der Kaskade

ubertragen

hat, wird in diesem Skalenbereich von der molekularen Viskosit

at zerstreut und geht,

haupts

achlich in Form von W

arme, in innere Energie des Systems

uber. Aus Experi-

menten weiß man, dass die von der Viskosit

at verursachten Eﬀekte ungef

ahr ab einer

oßenordnung von l

= 30λ relevant werden [Fri95].

Die Energie wird also auf den gr

oßten r

aumlichen Skalen zugef

uhrt, ﬂießt durch die

kleiner werdenden Skalen in die kleinsten und zerstreut sich dort, vgl. Abbildung II.1.

Dabei ist die Dissipationsrate der turbulenten Energie, ε [m

], von Interesse und

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