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74 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

Operator auf der linken Seite zuviel numerische Diﬀusion produziert.

Im n

achsten Schritt des FEM–FCT–Verfahrens wird die rechte Seite von (III.19) so

modiﬁziert, dass die Diﬀusion, dort wo sie nicht ben

otigt wird, wieder entfernt wird.

Diese Modiﬁkation erfolgt durch die Addition eines zus

atzlichen Vektors derart, dass

die unphysikalischen Oszillationen weiterhin unterdr

uckt werden,

+ 0.5∆t

L) u

= (M

+ 0.5∆t

L) u

k−1

+ 0.5∆t

k−1

+ 0.5∆t

∗



, u

k−1



. (III.20)

Der Ansatz zur Bestimmung des Vektors f

∗

benutzt den Residuumsvektor von (III.19)

und (III.17)

r = (M

+ 0.5∆t

L − (M

+ 0.5∆t

A)) u

− (M

+ 0.5∆t

L − (M

− 0.5∆t

A)) u

k−1

= (M

− M

)



− u

k−1



+ ∆t



0.5u

+ 0.5u

k−1



Dabei muss der Residuumsvektor ad

aquat gewichtet werden. Zur Deﬁnition dieser

Gewichte wird r f

ur i = 1, . . . N in die einzelnen Fl

usse

j=1





k,i

− u

k,j



− m



k−1,i

− u

k−1,j



(III.21)

−∆t

0.5d



k,i

− u

k,j



− ∆t

0.5d



k−1,i

− u

k−1,j



zerlegt. In diesem Zusammenhang k

onnen die Residuumsﬂ

usse auch als

= m



k,i

− u

k−1,i



− m



k,j

− u

k−1,j



−0.5∆t



k,i

− u

k−1,i



+ 0.5∆t



k,j

− u

k−1,j



(III.22)

geschrieben werden [Kuz09]. Der Ansatz f

ur den zus

atzlichen Korrekturvektor ist ge-

geben als

∗



, u

k−1



j=1

, i = 1, . . . , N ,

mit den Gewichten α

∈ [0, 1]. Sollten die Gewichte zus

atzlich vom Residuumsvek-

1 2 ... 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 ... 194 195

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