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60 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

∇





∂



G (ec

)



∂

G (ec

)

f +

G (ec

)

∂

G (ec

)

∂

Dies liefert nun die Gleichung f

ur die Populationsbilanz der Ausf

allungsreaktion mit

einer inneren Koordinate:

∂

u · ∇

f +

G (ec

)

∂

= 0. (III.3)

Hierbei beschreibt der erste Term die Akkumulation, also die zeitliche Ver

anderung

der Partikelgr

oßenverteilung. F

ur einzelne Partikelgr

oßenintervalle entspricht dies einer

Ver

anderung ihrer Partikelkonzentration. Der zweite und der dritte Term stellen die

Konvektionsanteile der Populationsbilanz dar. Da Konvektion im physikalischen Sinne

immer an den Transport von Materie gekoppelt ist, kann man den zweiten Term als

Translokation einer konservativen Gr

oße im Flussfeld mit der Geschwindigkeit

u in-

terpretieren [Dem94]. Der dritte und letzte Term kann analog zum zweiten gedeutet

werden, allerdings mit Bezug auf die innere Koordinate an Stelle des physikalischen

Raumes. Dies kommt einer Multiplikation des Wachstumsprozesses mit der gr

oßenab-

angigen Ver

anderung der Partikelgr

oßenverteilung gleich und beschreibt den konvek-

tiven Partikelﬂuss entlang der inneren Gr

oßenachse.

Die numerische Simulation von Populationsbilanzen, die im Folgenden betrachtet

wird, ist aufgrund der sehr komplexen chemischen Vorg

ange und der physikalischen

Mechanismen problembehaftet. Dies f

uhrt zu einer Reihe von Schwierigkeiten, die in

diesem Zusammenhang ber

ucksichtigt werden m

ussen [WK04], wie zum Beispiel die

Minimierung von numerischer Diﬀusion [JS08, JMR

] oder die Erhaltung der verschie-

denen Momente der Verteilungen [LSH95, WGN01].

§2 Modellierung des F

allungsprozesses

Den ersten Schritt bei der Herstellung von Partikeln stellt meist die chemische Um-

wandlung der Ausgangssubstanzen dar. Das hier betrachtete Modell einer Suspension

beschreibt eine Partikelsynthese mittels einer Fluid–Partikel–Umwandlung durch den

Niederschlag einer F

allungsreaktion. Da die Zeitspanne, in der die zugrundeliegende

chemische Umwandlung der Edukte oder Reaktanten im Prozess abl

auft, in der Regel

sehr viel k

urzer ist, als deren Verweilzeit im Reaktor, wird oft auf eine detaillierte Un-

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