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§3 Ergebnisse der Simulationen in einem zweidimensionalen Gebiet 125

zerlegt. Da das Gebiet der Bilanzgleichung, Ω × (d

p,0

, 1), zus

atzlich noch

uber eine

innere Koordinate verf

ugt, wird dieses in ein N × N × N Gitter unterteilt, wobei das

Intervall der Eigenschaftskoordinate analog zu (IV.1) diskretisiert wird. Dar

uber hinaus

werden auch verschiedene Zeitschrittweiten getestet.

Allerdings zeigte sich in den Rechnungen, dass der Fehler in den L

osungen vom

aumlichen Fehler dominiert wird und die verschiedenen Zeitschrittweiten nur eine un-

tergeordnete Rolle spielten. Daher sind die nachfolgenden Tabellen IV.10 und IV.11 auf

Simulationsergebnisse mit der Zeitschrittweite ∆t = 0.001 beschr

ankt. In den Tabellen

wird der Fehler der Konzentration c zum Endzeitpunkt T = 1 in der H

(Ω)–Halbnorm

und der L

(Ω)–Norm angegeben. Da auch hier ein Finite–Diﬀerenzen–Verfahren zur

Simulation einer Partikelgr

oßenverteilung f angewendet wurde, wird der Fehler von f

in der diskreten l

-Norm,

kfk





(N + 1)

(N+1)

i=1





angegeben.

In den beiden Tabellen kann man ablesen, dass der Fehler abnimmt, wenn die Gitter

verfeinert werden. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass keine Fehleranalysis

ur das lineare FEM–FCT–Verfahren bekannt ist, selbst f

ur den Fall einer skalaren li-

nearen Gleichung. Dar

uber hinaus ist das Testproblem ein gekoppeltes, nichtlineares

System mit einem anisotropen Gitter in einer Richtung. Daher gibt es hier keine Erwar-

tungswerte f

ur die Konvergenzordnung, die auf einer mathematischen Analyse basieren.

Dennoch scheint die angegebene Ordnung in den Tabellen IV.10 und IV.11 plausibel,

da bei einer einmaligen Verfeinerung des Gitters und einer Halbierung des Zeitschrittes

ur das Finite–Diﬀerenzen–Verfahren, FWE–UPW–FDM, alle Fehler etwa um den Fak-

tor 2 kleiner werden, wobei der Fehler kc − c

der Konzentration sogar meist noch

arker abf

allt.

Im Vergleich der Methoden kann man in den Tabellen sehr gut erkennen, dass die

Ergebnisse mit dem FEM–FCT–Verfahren in jedem Fall genauer waren und die beob-

achtbaren Konvergenzordnungen f

ur dieses Verfahren im Allgemeinen h

oher liegen. Die

Unterschiede der Fehler sind, im Vergleich zum FWE–UPW–FDM–Verfahren, sehr viel

oßer, wenn die Variationen im Konvektionsfeld zunehmen. Daher werden im Fall α

= 1 f

ur das FWE–UPW–FDM–Verfahren die Eﬀekte der ungenauen Simulation der

Partikelgr

oßenverteilung auf die Fehler der Konzentration gut sichtbar. Vergleichsweise

geringe Auswirkungen auf die Fehler hat dagegen eine Ver

anderung der Oszillationen

im Konvektionsfeld, β = 20, auch in Verbindung mit dem Parameter α. Diese Be-

obachtungen spiegeln sich ebenfalls in der Visualisierung der Simulation in Abbildung

IV.19 wider.

Die Ergebnisse dieses Testbeispiels spiegeln die gemachten Beobachtungen und Er-

1 2 ... 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 ... 194 195

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