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§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 13

dell gewonnen werden konnten, auf die urspr

ungliche Fragestellung zu

ubertragen und

so physikalische Ph

anomene in verschiedenen Maßst

aben zu untersuchen. Um Aussa-

gen

uber die

Ahnlichkeit von Str

omungen machen zu k

onnen, m

ussen zuerst die noch

dimensionsbehafteten, inkompressiblen Navier–Stokes–Gleichungen (II.2, II.9) entdi-

mensioniert werden.

Dies geschieht mit Hilfe der Kennzahlen einer Str

omung, der charakteristischen L

an-

ge l

∞

, der charakteristischen Zeit t

∞

sowie der charakteristischen Geschwindigkeit u

∞

Im n

achsten Abschnitt wird die Motivation zu dieser Wahl der Kennzahlen genauer er-

autert und ihre angenommenen Werte, hier l

∞

= 1m, t

∞

= 1s und u

∞

= 1m/s,

physikalisch begr

undet.

Diese Gr

oßen erlauben die Separation von dimensionsgebundenen Variablen in ein

Produkt einer Referenzgr

oße und einer dimensionslosen Variablen,

u = u

∞

u, ep = p

∞

t = t

∞

t, ex

= l

∞

, p

∞

= ρu

∞

, t

∞

Durch Substitution der Variablen und Umstellen der Gleichungen, k

onnen die Navier–

Stokes–Gleichungen in eine von allen physikalischen Einheiten bereinigte Form

uber-

uhrt werden:

∞

∂u

∂t

+ (u · ∇) u + ∇p − 2

∞

∇ · D (u) =

∞

∇ · u = 0.

Die verbliebenen Ausdr

ucke sind die dimensionslose Volumenkraft f und die beiden

wichtigsten Parameter zur Beschreibung der Kinematik und Dynamik einer Str

omung,

die Reynolds–Zahl Re und die Strouhal-Zahl St

f =

∞

f, Re =

∞

, St =

∞

In diesem Zusammenhang sagt man, dass zwei Str

omungen sich

ahnlich verhalten,

wenn sie neben einer

ahnlichen Geometrie auch die gleiche Reynolds–Zahl und die glei-

che Strouhal–Zahl besitzen. In der Modelltheorie spricht man dann von einer vollst

an-

digen (Modell-)

Ahnlichkeit und sagt, das allgemeine Newtonsche

Ahnlichkeitsgesetz

ist erf

ullt (vgl. [Goe75]).

Aus den oben angegebenen Kennzahlen folgt St = 1 und damit ergibt sich die am

weitesten verbreitete Darstellung der dimensionslosen, inkompressiblen Navier–Stokes–

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