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§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 73

se invers–monotoner Matrizen [RST08]. Diese deﬁniert man als die invers–monotonen

Matrizen, die zus

atzlich noch die Eigenschaft a

≤ 0 f

ur i 6= j erf

ullen. Da allerdings

die Berechnung der inversen Matrix sehr aufwendig sein kann und daher die Bedingung

−1

≥ 0 nur mit großem Aufwand

uberpr

uft werden kann, verwendet man meist leichter

zu kontrollierende Kriterien [RST08]. Beispielweise sind alle strikt diagonaldominanten

Matrizen mit a

≤ 0 f

ur i 6= j und a

> 0 ∀ i M–Matrizen [QV94].

Dar

uber hinaus wird bei der Modiﬁkation der algebraischen Ebene auch die Deﬁni-

tion der L–Matrizen benutzt. Dabei heißt eine Matrix A L–Matrix, wenn f

ur i, j ∈

{1, . . . , n} die Ungleichungen a

≥ 0 und a

≤ 0 f

ur i 6= j gelten [KA00].

Der erste Schritt des FEM–FCT–Verfahrens ergibt sich nun aus der folgenden

Uber-

legung, die mit dem Maximumprinzip, hier f

ur die lineare Konvektions–Diﬀusions–

Reaktionsgleichung (III.10), beginnt:

Sei u ∈ C(Ω) und r ∈ C(Ω) und r auf Ω nichtnegativ, was f

ur F

allungsreaktionen

immer erf

ullt ist. Dann gilt f

ur jedes c ∈ C

(Ω) ∩ C(Ω), dass c sein Maximum auf dem

Rand von Ω annimmt.

Wenn das Maximumprinzip f

ur das stetige Problem erf

ullt ist, dann sollte es auch f

die diskrete Gleichung gelten. Dabei ist diese Forderung erf

ullt, wenn die Systemmatrix

der diskreten Gleichung eine M–Matrix ist. Dies garantiert zus

atzlich auch, dass die

osung positivit

atserhaltend ist.

Daher beginnt das FEM–FCT–Verfahren mit der Deﬁnition der Matrizen

L = A + D,

D = (d

) , d

= − max {0, a

, a

} = min {0, −a

, −a

} f

ur i 6= j,

= −

j=1,j6=i

= diag (m

) , m

j=1

(III.18)

wobei N der Anzahl der Freiheitsgrade entspricht. Die Zeilen- und Spaltensummen der

Matrix D sind Null und die Matrix L besitzt keine positiven Nichtdiagonaleintr

age.

Des Weiteren ist M

eine Diagonalmatrix, die durch das sogenannte mass lumping

(deutsch: Masse-Klumpen [HB06]) erzeugt wird. Anstelle der Gleichung (III.18) wird

nun die Gleichung

+ 0.5∆t

L) u

= (M

+ 0.5∆t

L) u

k−1

+ 0.5∆t

k−1

+ 0.5∆t

(III.19)

betrachtet. Diese repr

asentiert die algebraische Darstellung eines stabilen Verfahrens

niedriger Ordnung. Die L

osung von (III.19) zeigt keine st

orenden und unphysikalischen

Oszillationen mehr, allerdings werden auftretende Grenzschichten verschmiert, da der

1 2 ... 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 ... 194 195

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