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Roland 5000s Bedienungsanleitung Seite 38

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10 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str
¨
omungen
den und ergibt dessen am weitesten verbreitete Darstellung,
d
d
e
t
Z
V
F dV =
Z
V
∂F
∂
e
t
+ ∇ · (
e
u F )
dV.
Das Integral der Quellenverteilung ∇ · (
e
u F ) kann mit Hilfe des Divergenzsatzes in ein
Oberfl
¨
achenintegral
¨
uberf
¨
uhrt werden
Z
V
∇ · (
e
u F ) dV =
Z
∂V
F
e
u · n dS =
Z
∂V
F (
e
u · ds) .
Diese Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes ergibt f
¨
ur das Transporttheorem:
d
d
e
t
Z
V
F dV
=
Z
V
∂F
∂
e
t
dV +
Z
∂V
F (
e
u · ds) . (II.5)
Der erste Term dieser Darstellung repr
¨
asentiert die zeitliche
¨
Anderungsrate von F
im Inneren des in der Bewegung befindlichen Volumens V . Der zweite Term stellt
den gesamten Durchfluss von F durch die H
¨
ulle des sich bewegenden Volumens ∂V
dar. Hierbei wird F pro Einheitsvolumen berechnet und
e
u · ds (Geschwindigkeit ×
Oberfl
¨
ache) ist der Durchfluss pro Zeiteinheit durch ein nach außen gerichtetes Fl
¨
a-
chenelement. Dies zeigt, dass die zeitliche
¨
Anderungsrate von
R
V
F dV f
¨
ur ein sich
mit dem Fluid bewegendes Volumen gegeben ist durch die zeitliche
¨
Anderungrate von
R
V
F dV f
¨
ur ein im Raum festes Volumen V plus den Fluss von F durch die Oberfl
¨
ache
∂V von V .
§1.2.2 Die Impulserhaltung
Die Anwendung des Transporttheorems (II.4) auf die linke Seite der Gleichung (II.3)
ergibt:
d
d
e
t
Z
V
e%
e
u dV =
Z
V
d
d
e
t
(e%
e
u) + (e%
e
u) (∇ ·
e
u)
dV
=
Z
V
∂
∂
e
t
(e%
e
u) + (
e
u · ∇) (e%
e
u) + (e%
e
u) (∇ ·
e
u)
dV.
Mit dem Gauß’schen Satz erh
¨
alt man f
¨
ur das Oberfl
¨
achenintegral in (II.3):
Z
V
∂
∂
e
t
(e%
e
u) + (
e
u · ∇) (e%
e
u) + (e%
e
u) (∇ ·
e
u)
dV =
Z
V
e%
e
g dV +
Z
V
∇ · S dV.
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