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§1 Populationsbilanzen 59

Bei dem im Folgenden betrachteten Prozess liegen gel

oste Edukte oder Reaktanten

als Ausgangstoﬀe in einem L

osungsmittel vor. Die bei der chemischen Reaktion entste-

henden Produkte erzeugen konsekutiv eine

Ubers

attigung des Systems und bilden in

Folge dessen einen Niederschlag aus. Es handelt sich also um eine Suspension folgender

Gestalt

A + B −→ C ↓ + D.

Der Prozess wird durch ein Populationsbilanzsystem modelliert. Die kontinuierliche

Phase, das Str

omungsfeld des L

osungsmittels, wird dabei durch die Navier–Stokes–

Gleichungen beschrieben, w

ahrend die chemische Reaktion und der Transport der Re-

aktanten durch Konvektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichungen simuliert werden.

Die bei der F

allungsreaktion entstehenden Partikel sollen nur eine innere Koordinate,

amlich ihre Gr

oße, besitzen. Da bei realen chemischen Prozessen auftretende Partikel

unregelm

aßig geformt sind, wird in der Simulation ein geometrischer

Aquivalentdurch-

messer als Maß f

ur die tats

achliche Gr

oße benutzt. Dieser wird mit

bezeichnet und

entspricht dem volumen

aquivalenten Kugeldurchmesser der wirklichen Partikel.

ur diese eine kontinuierliche Eigenschaft wird der Eigenschaftsraum zu einem reellen

Intervall,

Ω

p,0

p,max

wobei

p,0

eine untere und

p,max

eine obere Schranke der Partikel- oder Korngr

oße ist.

Die in der Gleichung (III.2) auftretende Geschwindigkeit der inneren Koordinate

entspricht dann der zeitlichen Ver

anderung der Partikelgr

oße

, was einem Wachs-

tumsprozess gleichkommt:

∂

G (ec

) .

Der Wachstumsprozess h

angt von der vorhandenen Konzentration ec

des ausf

allenden

Stoﬀes ab, da das eigentliche Wachstum einen Massentransfer von der kontinuierlichen

hin zur dispersen Phase ben

otigt und ist nicht abh

angig vom

Aquivalentdurchmesser

der einzelnen Partikel. Dies entspricht allerdings einer Modellannahme f

ur die hier

betrachtete F

allungsreaktion und kann nicht ohne weiteres auf andere Prozesse

uber-

tragen werden. Mit der Produktregel und der Kontinut

atsgleichung f

ur inkompressible

Str

omungen (II.2) ergibt sich f

ur die Terme in (III.2),

∇ ·





u · ∇

f +

f∇ ·

u · ∇

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